(luogu5495) Dirichlet 前缀和

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思路:

由唯一分解定理，可将两数 \(x, y\) 分解为:

\[ x = \prod p_k^{\alpha_{x,k}}\\ y = \prod p_k^{\alpha_{y,k}} \]

若 \(a_x\) 对 \(b_y\) 有贡献，则说明 \(\forall k, \alpha_{y,k} \ge \alpha_{x,k}\)

相当于 \(b\) 是 \(a\) 的一个以质因子指数为维度的高维前缀和.

关于如何求高维前缀和，可以用容斥，但是这里使用了另一个方法: 求出前 \(n\) 维的前缀和后延新的维度推进求出 \(n+1\) 维前缀和.

以二维前缀和理解的话，相当于先求出当前行的一维前缀和， 再延列推进求出二维前缀和.

时间复杂度与埃拉托色尼筛相当，为 \(O(n \log \log n)\)

代码:

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#include <cstdio>
#include <vector>
using std::vector;
typedef unsigned int uint;
const int Mn(20000005);
uint seed;
inline uint getnext(){
    seed^=seed<<13;
    seed^=seed>>17;
    seed^=seed<<5;
    return seed;
}

uint b[Mn];
bool isv[Mn];
vector<int> prm;

int main() {
    int n;
    scanf("%d %u",&n,&seed);
    for(int i(2);i<=n;++i) {    //欧拉筛求质数
        if(!isv[i]) {
            prm.push_back(i);
        }
        for(int a: prm) {
            if(a*i>n) {
                break;
            }
            isv[i*a] = true;
            if(i%a==0) {
                break;
            }
        }
    }
    for(int i(1);i<=n;++i) {
        b[i] = getnext();
    }
    uint ans(0);
    for(int a: prm) {   //相当于维度
        for(int j(1);j*a<=n;++j) {  //延当前维度推进
            b[a*j] += b[j];     //直接无符号溢出即对2^32取模
        }
    }
    for(int i(1);i<=n;++i) {
        ans ^= b[i];
    }
    printf("%u",ans);
    return 0;
}