思路:
首先, n个点组成的有根二叉树种数为:
即为卡特兰数.
令$e_n$为叶子节点的期望值, 由全期望公式, 有:
和式中每一项为左子树大小为$i$时的概率与对应的期望.
令$f_n=c_ne_n$, 有:
接下来便是多项式时间:
令$F(x) = \sum_{i}f_ix^i$, $C(x) = \sum_{i}c_ix^i$, 有:
令$x=0$, 可得$C(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$, $F(x) = \frac{x}{\sqrt{1-4x}}$
接下来是重点: 探究$C(x)$与$F(x)$的关系:
于是有:
同时已知$c_i=\frac{2i \choose i}{i+1}$, 所以最终答案为:
其实也可以直接打表找规律