(luogu4139) 上帝与集合的正确用法

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思路:

由扩展欧拉定理，有:

\[ 2^{2^{2\cdots}} \equiv 2^{(2^{2\cdots} \mod \varphi(p)) + \varphi(p)}\pmod p \]

上面的 \(2^{2\cdots} \mod \varphi(p)\) 可以递归求解，当 \(\varphi(p)\) 减小到 1 即可回溯.

至于 \(\varphi(p)\), 用线性筛预处理即可.

代码:

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#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int Mp(10000050);
int phi[Mp];
vector<int> prm;
void euler() {  //线性筛
    phi[1] = 0;
    for(int i(2);i<Mp;++i) {
        if(!phi[i]) {
            phi[i] = i-1;
            prm.push_back(i);
        }
        for(int j(0);j<prm.size() && 1ll*i*prm[j]<Mp;++j) {
            if(i%prm[j]==0) {
                phi[i*prm[j]] = phi[i]*prm[j];
                break;
            } else {
                phi[i*prm[j]] = phi[i]*(prm[j]-1);
            }
        }
    }
}

int ksm(int a,int b,int p) {    //快速幂
    int ret(1),tmp(a%p);
    for(int i(0);(1<<i)<=b;++i) {
        if(b&(1<<i)) {
            ret = 1ll*ret*tmp%p;
        }
        tmp = 1ll*tmp*tmp%p;
    }
    return ret;
}
int ans(int p) {    //递归求解
    if(p<=1) {      //边界条件
        return 0;
    } else {
        return ksm(2,ans(phi[p])+phi[p],p);
    }
}

int main() {
    euler();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",ans(n));
    }
    return 0;
}