(luogu2568)GCD

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思路:

首先, 显然当$p$为质数时, $(p,p)$是质数.

同时, 若$a > b$且$(a,b) = g \neq 1$时, 有$a = cg, b = dg, c > d$且$(c,d)=1$

此时答案已经呼之欲出了: 从$c$入手, 计算出$\phi(c)$即可知有多少$d < c$满足$(c,d)=1$, 然后计算出$\lfloor \frac{n}{c} \rfloor$内有多少质数, 再把两数相乘, 即得到满足$n \geq a > b$且$g = (a,b)$为质数的数对数量了.

而这两个数可以通过线性筛在$O(n)$的时间内预处理得到. 问题便解决了.

代码:

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int Mn(10000500);

int phi[Mn],lsp[Mn];    //phi函数, 1~i的质数个数
vector<int> prm;    //1~n内的质数
void euler_sieve(int n) {   //线性筛
    phi[1] = 0;
    lsp[1] = 0;
    for(int i(2);i<=n;++i) {
        lsp[i] = lsp[i-1];
        if(!phi[i]) {   //若i为质数
            phi[i] = i-1;
            prm.push_back(i);
            ++lsp[i];
        }
        for(int j(0);j<prm.size() && 1ll*i*prm[j]<=n;++j) {
            if(i%prm[j]==0) {   //保证每个数只被筛一次
                phi[i*prm[j]] = phi[i]*prm[j];
                break;
            } else {
                phi[i*prm[j]] = phi[i]*(prm[j]-1);
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    euler_sieve(n); //预处理
    long long ans(0);
    for(int i(2);i<=n;++i) {
        if(phi[i]==i-1) {   //如果i为质数则(i,i)为一个答案
            ans += 1;
        }
        ans += 2*phi[i]*lsp[n/i];   //(a,b)与(b,a)都是答案, 所以*2
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}