(luogu1072)Hankson的趣味题

发表于 | 分类于 ，

原题链接

思路:

首先, 由题意, $[x,b_0] = b1 \Rightarrow b_0|b_1$.

设$k_b = \frac{b_1}{b_0}$, 令$b_0 = tg$, 则$b_1 = k_btg$, 当$(k_b,t)=1$时, $(x,b_0) = g$, $x = k_bg$.

同时, $(x,a_0) = a_1 \Rightarrow a_1|x$.

令$x = k_aa_1$, $a_0 = sa_1$, 则有$(s,k_a) = 1$.

由上述一系列结论可以得到该题的算法: 枚举$b_0$的所有因子作为$g$, 判定$(k_b,t)=1$,是否成立, 然后求出$x$, 判定$a_1|x$与$(s,k_a)=1$是否成立即可.

时间复杂度为$O(n * \sqrt{b_0}log\ b_0)$

代码:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
#include <cstdio>
#include <cmath>
int gcd(int a,int b) {
    while(b!=0) {
        int m = a%b;
        a = b;
        b = m;
    }
    return a;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int a0,a1,b0,b1;
        scanf("%d %d %d %d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int kb = b1/b0;
        int ub = sqrt(b0);  //枚举上界
        int ans(0); //计数
        for(int i(1);i<=ub;++i) {
            if(b0%i==0) {
                int g1 = i, g2 = b0/i;  //两个因数
                if(gcd(kb,g2)==1) {
                    int x = kb*g1;
                    if(x%a1==0 && gcd(x/a1,a0/a1)==1) {
                        ++ans;
                    }
                }
                /*注意细节: g1可能等于g2,此时只算一个*/
                if(g2!=g1 && gcd(kb,g1)==1) {
                    int x = kb*g2;
                    if(x%a1==0 && gcd(x/a1,a0/a1)==1) {
                        ++ans;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}