(luogu1072) Hankson 的趣味题

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思路:

首先，由题意，\([x,b_0] = b1 \Rightarrow b_0|b_1\).

设 \(k_b = \frac{b_1}{b_0}\), 令 \(b_0 = tg\), 则 \(b_1 = k_btg\), 当 \((k_b,t)=1\) 时，\((x,b_0) = g\), \(x = k_bg\).

同时，\((x,a_0) = a_1 \Rightarrow a_1|x\).

令 \(x = k_aa_1\), \(a_0 = sa_1\), 则有 \((s,k_a) = 1\).

由上述一系列结论可以得到该题的算法：枚举 \(b_0\) 的所有因子作为 \(g\), 判定 \((k_b,t)=1\), 是否成立，然后求出 \(x\), 判定 \(a_1|x\) 与 \((s,k_a)=1\) 是否成立即可.

时间复杂度为 \(O(n * \sqrt{b_0}log\ b_0)\)

代码:

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#include <cstdio>
#include <cmath>
int gcd(int a,int b) {
    while(b!=0) {
        int m = a%b;
        a = b;
        b = m;
    }
    return a;
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int a0,a1,b0,b1;
        scanf("%d %d %d %d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int kb = b1/b0;
        int ub = sqrt(b0);  //枚举上界
        int ans(0); //计数
        for(int i(1);i<=ub;++i) {
            if(b0%i==0) {
                int g1 = i, g2 = b0/i;  //两个因数
                if(gcd(kb,g2)==1) {
                    int x = kb*g1;
                    if(x%a1==0 && gcd(x/a1,a0/a1)==1) {
                        ++ans;
                    }
                }
                /*注意细节: g1可能等于g2,此时只算一个*/
                if(g2!=g1 && gcd(kb,g1)==1) {
                    int x = kb*g2;
                    if(x%a1==0 && gcd(x/a1,a0/a1)==1) {
                        ++ans;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}